Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен степени $n > 0$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме $1$, $-1$ и $-2$.

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65092  (#1)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65093  (#2)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65094  (#3)

Темы:   [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Процессы и операции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65095  (#4)

Темы:   [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором  AB = CD,  выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°.
Докажите, что  PB + PC < AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65096  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями