ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Два концентрических круга поделены на 2k равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.

Вниз   Решение


Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      



Задача 65516

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65517

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65518

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике MKN проведена биссектриса KL. Точка X на стороне MK такова, что  KX = KN.  Докажите, что прямые KO и XL перпендикулярны (O – центр описанной окружности треугольника MKN).

Прислать комментарий     Решение

Задача 65519

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Даны три квадратных трёхчлена:  x² + b1x + c1x² + b2x + c2  и  x² + ½ (b1 + b2)x + ½ (c1 + c2).  Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

Прислать комментарий     Решение

Задача 65520

Тема:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .