Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 >> [Всего задач: 29]
Задача
66532
(#4)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход
какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь
другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от
него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут
добиться того же, прыгая из начального положения только
влево.
Задача
66537
(#4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между
его концами четное число вершин, и в синий – в противном
случае (в частности, все стороны 100-угольника красные).
В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых
равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Задача
66606
(#4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Каждая точка плоскости раскрашена в один из трех цветов. Обязательно ли найдется треугольник площади 1, все вершины которого имеют одинаковый цвет?
Задача
66611
(#4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.
Задача
66616
(#4)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$,
удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение
\begin{align*}
&a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\
\ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0
\end{align*}
имеет хотя бы один действительный корень.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 >> [Всего задач: 29]
Фильтр
Решение 
