Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 66722 (#1)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Инварианты и полуинварианты (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кузнецов М.

На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить "Да" или "Нет" на вопрос: "На острове рыцарей больше, чем лжецов?". Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов "Да" и "Нет" было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов "Да" было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66729 (#2)

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ с центром описанной окружности $O$ проведены высоты $AH_a$ и $BH_b$. Точки $X$ и $Y$ симметричны точкам $H_a$ и $H_b$ относительно середин сторон $BC$ и $CA$ соответственно. Докажите, что прямая $CO$ делит отрезок $XY$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66726 (#3)

Тема:

[

Примеры и контрпримеры. Конструкции

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Седракян Н.

Докажите, что
а) любое число вида 3k – 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел;
б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66731 (#4)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Захаров Д.

Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66732 (#5)

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
Темы:	[	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Седракян Н.

Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно $k$ больше 30°. Каково наибольшее возможное значение $k$?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]