Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 819]

Задача 66779

Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Saghafian M.

Мортеза отметил на плоскости шесть точек и нашел площади всех 20 треугольников с вершинами в этих точках. Может ли оказаться, что все полученные числа целые, а их сумма равна 2019?

Прислать комментарий Решение

Задача 66793

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ вписана в окружность с центром $O$. Из точки $A$ к описанной окружности треугольника $CDO$ проведены касательные $AP$ и $AQ$. Докажите, что описанная окружность треугольника $APQ$ проходит через середину основания $AB$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66794

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Рябов П.

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $M$, что $AM = \frac{1}{2} AB$, а $CM = \frac{1}{2} BC$. Точки $C_0$ и $A_0$ взяты на отрезках $AB$ и $CB$ соответственно, причем $BC_0 : AC_0 = BA_0 : CA_0 = 3$. Докажите, что $M$ равноудалена от $C_0$ и $A_0$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66809

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Dadgarnia A.

В треугольнике $ABC$ $\angle A= 45^{\circ}$. Точка $A'$ диаметрально противоположна $A$ на описанной окружности треугольника. Точки $E$, $F$ на сторонах $AB$, $AC$ соответственно таковы. что $A'B=BE$, $A'C=CF$. Пусть $K$ – вторая точка пересечения окружностей $AEF$ и $ABC$. Докажите, что прямая $EF$ делит пополам отрезок $A'K$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66914

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 819]