Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 66928 (#16 [9-11 кл])

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
Темы:	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Рябов П.

В треугольнике $ABC$ чевианы $AP$ и $AQ$ симметричны относительно биссектрисы. Точки $X$, $Y$ – проекции $B$ на $AP$ и $AQ$ соответственно, а точки $N$ и $M$ – проекции $C$ на $AP$ и $AQ$ соответственно. Докажите, что $XM$ и $NY$ пересекаются на $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66929 (#17 [10-11 кл])

Темы:	[	Инверсия (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Казаков А.

Хорды $A_1A_2$ и $B_1B_2$ пересекаются в точке $D$. Прямая $A_1B_1$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $DD'$, где точка $D'$ инверсна к $D$, в точке $C$. Докажите, что $CD\parallel A_2B_2$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66930 (#18 [10-11 кл])

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Швецов Д.В., Зайцева Ю.

Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 66931 (#19 [10-11 кл])

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В четырехугольнике $ABCD$ $AB\perp CD$ и $AD\perp BC$. Докажите, что существует точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны четырехугольника, пропорциональны этим сторонам.

Прислать комментарий Решение

Задача 66932 (#20 [10-11 кл])

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

К вписанной окружности треугольника $ABC$ проведена касательная, параллельная $BC$. Она пересекает внешнюю биссектрису угла $A$ в точке $X$. Точка $Y$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности. Докажите, что угол $XIY$ прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]