Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно  – точный квадрат.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67321

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Функции. Непрерывность (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67323

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно  – точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67322

Тема:   [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67324

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67325

Темы:   [ Обход графов ] [ Теория графов (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый  – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями