Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78039 (#1)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78036 (#2)

Тема:

[

Симметрические системы. Инволютивные преобразования

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы
x³ + y³ = 1,
x⁴ + y⁴ = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78040 (#3)

Темы:	[	Аффинные преобразования и их свойства	]
Темы:	[	Аналитический метод в геометрии	]

Сложность: 4-
Классы: 11

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

Прислать комментарий Решение

Задача 78038 (#4)

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан $\Delta$ ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78041 (#5)

Темы:	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]