Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78580 (#1)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите все простые числа вида P^P + 1 (P – натуральное), содержащие не более 19 цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78581 (#2)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что последние цифры чисел nⁿ (n – натуральное) образуют периодическую последовательность.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78582 (#3)

Темы:	[	Задачи на максимум и минимум (прочее)	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Построения в пространстве (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Дана плоскость P и две точки A и B по разные стороны от неё. Построить сферу, проходящую через эти точки, высекающую из P наименьший круг.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78583 (#4)

Темы:	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Связность. Связные множества	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Дан многоугольник на плоскости, невыпуклый и несамопересекающийся. Д – множество точек, принадлежащих тем диагоналям многоугольника, которые не вылезают за его пределы (то есть лежат либо целиком внутри, либо частью внутри, частью на контуре). Концы этих диагоналей тоже включаются в Д. Докажите, что любые две точки из Д можно соединить ломаной, целиком принадлежащей Д.

Прислать комментарий Решение

Задача 78584 (#5)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В каждой клетке квадратной таблицы m×m клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше m. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем ½ m².

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]