Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79623 (#1)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Шахматная раскраска	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4n – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) n = 55?
б) n = 1992?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79624 (#2)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором $\angle$ BAC = 30^o, $\angle$ ACD = 40^o, $\angle$ ADB = 50^o, $\angle$ CBD = 60^o и $\angle$ ABC + $\angle$ ADC = 180^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 79625 (#3)

Темы:	[	Сферическая геометрия и телесные углы	]
Темы:	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.

Прислать комментарий Решение

Задача 79626 (#4)

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Правильный тетраэдр	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P₁, P₂, P₃, P₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P₁ ≤ P₂ + P₃ + P₄; б) если S₁, S₂, S₃, S₄ — площади соответствующих граней тетраэдра, то P₁S₁ ≤ P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄.

Прислать комментарий Решение

Задача 79628 (#6)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прибор для сравнения чисел log_ab и log_cd (a, b, c, d > 1) работает по правилам: если b > a и d > c, то он переходит к сравнению чисел log_a^b/_a и log_c^d/_c если b < a и d < c, то он переходит к сравнению чисел log_dc и log_ba; если (b − a)(d − c) ≤ 0, то он выдаёт ответ.
а) Покажите, как прибор сравнит числа log₂₅75 и log₆₅260.
б) Докажите, что любые два неравных логарифма он сравнит за конечное число шагов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]