Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 97802 (#1)

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Разборов А.

Числа от 1 до 1000 расставлены по окружности.
Доказать, что их можно соединить 500 непересекающимися отрезками, разность чисел на концах которых (по модулю) не более 749.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108604 (#2)

Темы:	[	Существование определенного интеграла	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Векторы сторон многоугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки P, M и K так, что отрезки AM, BK и CP пересекаются в одной точке и Докажите, что P, M и K – середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97804 (#3)

Темы:	[	Отношение порядка	]
	[	Обход графов	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Коганов И.

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97807 (#4)

Тема:

[

Полуинварианты

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Анджанс А.

Несколько ребят стоят по кругу. У каждого есть некоторое количество конфет. Сначала у каждого чётное количество конфет. По команде каждый передает половину своих конфет стоящему справа. Если после этого у кого-нибудь оказалось нечётное количество конфет, то ему извне добавляется одна конфета. Это повторяется много раз. Доказать, что настанет время, когда у всех будет поровну конфет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97805 (#4)

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Автор: Азов Д.Г.

а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]