Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 108088 (#1)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Толпыго А.К.

Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97915 (#2)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

Существует ли такое N и такие N – 1 бесконечных арифметических прогрессий с разностями 2, 3, 4, ..., N, что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

Прислать комментарий

Решение

Задача 97916 (#3)

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Гуревич Г.А.

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Прислать комментарий

Решение

Задача 97917 (#4)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Произволов В.В.

Через n!! обозначается произведение n(n – 2)(n – 4)... до единицы (или до двойки): например, 8!! = 8·6·4·2; 9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что 1985!! + 1986!! делится на 1987.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97918 (#5)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Бона М.

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]