Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]

Задача 65668 (#4)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Признаки делимости на 11	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Женодаров Р.Г.

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65674 (#4)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Бакаев Е.В.

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65680 (#4)

Темы:	[	Шахматная раскраска	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Клепцын В.А.

Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65685 (#4)

Темы:	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Клячко А. А., Френкель Е. В.

В английском клубе вечером собрались n его членов (n ≥ 3). По традициям клуба каждый принес с собой сок того вида, который он предпочитает, в том количестве, которое он планирует выпить в течение вечера. Согласно правилам клуба, в любой момент любые три его члена могут присесть за столик и выпить сока (каждый – своего) в любом количестве, но обязательно все трое поровну. Докажите, что для того, чтобы все члены могли в течение вечера полностью выпить принесенный с собой сок, необходимо и достаточно, чтобы доля сока, принесенного каждым членом клуба, не превосходила одной трети от общего количества.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65691 (#4)

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Бородин П.А.

За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]