Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 66167 (#11.6)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66168 (#10.7)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Фадин М., Коваленко К.

Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число a > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66169 (#11.8)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Метрические соотношения (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через I_A, I_B, I_C и I_D центры вписанных окружностей ω_A, ω_B, ω_C и ω_D треугольников DAB, ABC, BCD и CDA соответственно. Оказалось, что ∠BI_AA + ∠I_CI_AI_D = 180°. Докажите, что ∠BI_BA + ∠I_CI_BI_D = 180°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]