Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66219  (#16)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66220  (#17)

Темы:   [ Треугольник (построения) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Метод ГМТ ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что  ∠KBA = 2∠KAB  и  ∠KBC = 2∠KCB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66221  (#18)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть L – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника ABC, а BH – его высота. Известно, что  ∠ALH = 180° – 2∠A.
Докажите, что  ∠CLH = 180° – 2∠C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66222  (#19)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В треугольнике ABC провели чевианы AA', BB' и CC', которые пересекаются в точке P. Описанная окружность треугольника PA'B' пересекает прямые AC и BC в точках M и N соответственно, а описанные окружности треугольников PC'B' и PA'C' повторно пересекают AC и BC соответственно в точках K и L. Проведём через середины отрезков MN и KL прямую c. Прямые a и b определяются аналогично. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66223  (#20)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями