Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 66657 (#16 [9-11 кл])

Темы:	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
Темы:	[	Биссектриса угла	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Рябов П.

В треугольнике $ABC$, где $AB < BC$, биссектриса угла $C$ пересекает в точке $P$ прямую, параллельную $AC$ и проходящую через вершину $B$, а в точке $R$ – касательную из вершины $B$ к описанной окружности треугольника. Точка $R'$ симметрична $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'PB = \angle RPA$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66658 (#17 [10-11 кл])

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Тахаев С.

Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касаются друг друга внешним образом и касаются изнутри окружности $\Omega$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Общая внутренняя касательная к $\alpha$ и $\beta$ пересекает не содержащую $C_1$ дугу $A_1B_1$ в точке $C_2$. Точки $A_2$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66659 (#18 [10-11 кл])

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Авторы: Полянский А., Полянский Н.

На сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1,A_1,B_1$ так, что отрезки $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C1$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$ и $C_2$. Докажите, что точки $A,C,$ точка пересечения $A_2C_2$ с $BB_1$ и середина $A_2C_2$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66660 (#19 [10-11 кл])

Темы:	[	Необычные построения (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66661 (#20 [10-11 кл])

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Зимин А.

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Вписанная окружность касается его сторон $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. Пусть $T$ – ближайшая к $N$ точка пересечения прямой $AN$ с вписанной окружностью, а $K$ – точка пересечения прямых $DE$ и $FT$. Докажите, что $AK||BC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]