Каталог по темам

Задачи

Страница: << 181 182 183 184 185 186 187 >> [Всего задач: 1024]

Задача 116248

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A₁ обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A₂ – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую A₂I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110780

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дана окружность и точка P внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке P . Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.

Прислать комментарий Решение

Задача 110781

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках A₂, B₂, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115974

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Автор: Москвитин Н.А.

Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A); из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности. Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116361

Темы:	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 181 182 183 184 185 186 187 >> [Всего задач: 1024]