Страница: 1
2 3 >> [Всего задач: 11]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11
|
Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
Окружности ω1 и ω2 касаются внешним
образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая l1, касающаяся ω2. Аналогично прямая l2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые l1 и l2
непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l1 и l2.
Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что XY = YZ и AY = BZ. Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10
|
Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках
O1 и
O2. Пусть
a1 и
a2 — внутренние касательные к этим окружностям,
a3 и
a4 —
внешние касательные к ним. Пусть, далее,
a5 и
a6 — касательные к
окружности с центром в
O1, проведённые из точки
O2,
a7 и
a8 —
касательные к окружности с центром в точке
O2, проведённые из точки
O1.
Обозначим через
O точку пересечения
a1 и
a2. Доказать, что с центром в
точке
O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась
a3 и
a4, вторая касалась
a5,
a6,
a7,
a8, причём радиус второй в два
раза меньше радиуса первой.
Фиксированы две окружности w1 и w2,
одна их внешняя касательная l и
одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой L строятся точки
Y и Z так, что XY и XZ касаются w1 и w2
соответственно, а треугольник XYZ содержит
окружности w1 и w2.
Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ, лежат
на одной прямой.
Страница: 1
2 3 >> [Всего задач: 11]