Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 329]      

Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.)

Прислать комментарий

Решение

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке L, вписаны в угол BAC. Окружность ω₁ касается луча AB в точке E, а окружность ω₂ – луча AC в точке M. Прямая EL пересекает повторно окружность ω₂ в точке Q. Докажите, что  MQ || AL.

Прислать комментарий

Решение

Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения?

Прислать комментарий

Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

Прислать комментарий

Решение

Окружность C₂ расположена внутри окружности C₁ и касается ее в точке P. Секущая MN окружности C₁(M, N C₁) и секущая ST окружности C₂ ( S, T C₂) пересекаются в точке Q, причем PQ является касательной к окружности C₁. Отрезки NS и TM пересекаются в точке O. Площадь треугольника MON в 16 раз больше площади треугольника OTS. Найдите длину отрезка PQ, если SQ = 9, MQ = 6 и TQ > SQ, NQ > MQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 329]