Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано: $$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$

Найти $a_{1000}$.

Примечание. $\left[A\right]$ — целая часть $A$.

   Решение

---

В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что  $CN = AB$.  Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.

   Решение

---

Пусть n и b – натуральные числа. Через  V(n, b)  обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  V(36, 2) = 5).  Докажите, что  V(n, b) < ⁿ/_b.

   Решение

---

а) Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп ровно 455 рупий 50 монетами. Смогут ли соратники Кука выкупить его на таких условиях, если в тех краях имеют хождение только монеты в 5, 17 и 31 рупии?
б) А если бы аборигены хотели получить сумму в 910 рупий 50 монетами по 10, 34 и 62 рупии?

   Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 501]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98148

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110959

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вычисление площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан ромб ABCD с тупым углом при вершине A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка K. Отрезки BK и CD пересекаются в точке L.
Найдите площадь треугольника ABK, если  BL = 2,  KL = 5,  а высота ромба равна 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110960

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вычисление площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC, а угол при вершине E – тупой.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AE = 3,  CE = 7,  а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110961

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вычисление площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На продолжении стороны BC ромба ABCD за точку B взята точка M так, что угол MDC – тупой. Отрезки AB и DM пересекаются в точке N.
Найдите площадь треугольника CDM, если  DN = 3,  MN = 4,  а высота ромба равна 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110962

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вычисление площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Даны треугольник ABC с тупым углом при вершине A и ромб CDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AE = 2,  BE = 7,  а радиус окружности, вписанной в ромб, равен ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 501]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями