Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 368]      

Целые числа a, b, c и d таковы, что  a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴  делится на 5. Докажите, что abcd делится на 625.

Прислать комментарий

Решение

Докажите справедливость следующих сравнений:
  а)  1 + 2 + 3 + ... + 12 ≡ 1 + 2 + 2² + ... + 2¹¹ (mod 13);
  б)  1² + 2² + 3² + ... + 12² ≡ 1 + 4 + 4² + ... + 4¹¹ (mod 13).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что число  1^k + 2^k + ... + 12^k  делится на 13 для  k = 1, 2, ..., 11.

Прислать комментарий

Решение

Решите сравнения:
  а)  8x ≡ 3 (mod 13);
  б)  17x ≡ 2 (mod 37);
  в)  7x ≡ 2 (mod 11);
  г)  80x ≡ 17 (mod 169).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:
  а)  x² + y² = 2003;
  б)  12x + 5 = y²;
  в)   – x² + 7y³ + 6 = 0;
  г)  x² + y² + z² = 1999;
  д)  15x² – 7y² = 9;
  е)  x² – 5y + 3 = 0;
  ж)   
  з)  8x³ – 13y³ = 17.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 368]