Каталог по темам

Задачи

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 492]

Задача 64357

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Полянский А., Емельянов Л.А.

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64803

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Tran Quang Hung

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66223

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Лучкин В., Фадин М.

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

Прислать комментарий

Решение

Задача 66981

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема синусов	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Секущая пересекает первую окружность в точках $A_1, B_1$, а вторую – в точках $A_2, B_2$. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1, D_1$, а вторую – в точках $C_2, D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1\cap B_2D_2$, $A_1C_1\cap A_2C_2$, $A_2C_2\cap B_1D_1$, $B_2D_2\cap B_1D_1$ лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.

Прислать комментарий Решение

Задача 73767

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Неравенства с углами	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Панков П.С.

а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 492]