Страница:
<< 29 30 31 32
33 34 35 >> [Всего задач: 239]
Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса r с
центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Для сторон
треугольника выполнено соотношение
HK2 - HM2 = HM2 - MK2.
Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан
треугольника MKH.
В треугольнике ABC выполнено соотношение между сторонами
= 
. Найдите радиус
описанной окружности, если расстояние от ее центра до точки пересечения
медиан равно d, а длина стороны AB равна c.
Докажите, что если α, β, γ и α1, β1, γ1 – углы двух треугольников, то
cos α1/sin α + cos β1/sin β + cos γ1/sin γ ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна – это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Она может перемещаться прыжками через Луну и Землю: из старого места (точки А) она моментально появляется в новом (в точке A') так, что в середине отрезка АA' находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.
а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.
б) Докажите, что летающая тарелка, используя неограниченное количество прыжков, может допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты за любой промежуток времени, например, за секунду.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны
числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)
Страница:
<< 29 30 31 32
33 34 35 >> [Всего задач: 239]
Фильтр
