Страница: << 151 152 153 154 155 156 157 >> [Всего задач: 2440]      

В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n² так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Натуральное число $N$ кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа $N$ такое возможно?

Прислать комментарий

Решение

На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

Прислать комментарий

Решение

Существует ли натуральное число, которое можно представить в виде произведения двух палиндромов более чем 100 способами? (Палиндромом называется натуральное число, которое одинаково читается как слева направо, так и справа налево.)

Прислать комментарий

Решение

Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа  76² = 5776  – это снова 76.
  а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
  б) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A² составляют число А.
  в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a₁, a₂, a₃, ..., что для любого натурального n квадрат числа a_na_n–1...a₂a₁ оканчивается на эти же n цифр? Очевидный ответ  a₁ = 1  и  0 = a₂ = a₃ = ...  мы исключаем.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 151 152 153 154 155 156 157 >> [Всего задач: 2440]