Докажите, что при любых x, y, z выполнено неравенство: x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

   Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

   Решение

Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение  x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?

   Решение

Взаимно перпендикулярные диаметр KM и хорда AB некоторой окружности пересекаются в точке N,  KN ≠ NM.  На продолжении отрезка AB за точку A взята точка L,  LN = a,  AN = b.  Найдите расстояние от точки N до точки пересечения высот треугольника KLM.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 236]      

Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников ABC и ACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2:5 (считая от точки A), а BAC = 45^o.

Прислать комментарий

Решение

На стороне BC остроугольного треугольника ABC  (AB ≠ AC)  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M,  AD = a,  MD = b,  H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Прислать комментарий

Решение

Взаимно перпендикулярные диаметр KM и хорда AB некоторой окружности пересекаются в точке N,  KN ≠ NM.  На продолжении отрезка AB за точку A взята точка L,  LN = a,  AN = b.  Найдите расстояние от точки N до точки пересечения высот треугольника KLM.

Прислать комментарий

Решение

На окружности даны точки K и L. Постройте такой треугольник ABC, что KL является его средней линией, параллельной AB, и при этом точка C и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на данной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точка M – середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точке M. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности, и ME – перпендикуляр к CD. Найдите угол AEB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 236]