Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 411]

Задача 66346

Тема:

[

Индукция (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Город имеет вид квадрата $n\times n$, разбитого на кварталы 1×1. Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107981

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Спивак А.В.

Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.

Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73617

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Охитин С.

На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

Прислать комментарий Решение

Задача 78140

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Бесконечная плоская ломаная A₀A₁...A_n..., все углы которой прямые, начинается в точке A₀ с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OA_n = l_n. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна s_n. Доказать, что найдётся n, для которого ${\frac{s_n}{l_n}}$ > 1958.

Прислать комментарий Решение

Задача 110769

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Куб	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Казицына Т.В., Заславский А.А.

Куб с ребром 2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера 2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 411]