Каталог по темам

Выбрано 7 задач

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h .

Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности и точка J на хорде CD. Постройте на окружности точку X так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, делящийся точкой J пополам.

Решение

В треугольнике KLM угол $\angle$ L — тупой, продолжение высот MA и LB пересекаются в точке O, $\angle$ LKM = $\alpha$ , $\angle$ KLM = $\beta$ , KL = m. Найдите расстояние от точки O до прямой KL.

Решение

Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т.е.

c² = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ ,

где a, b, c — стороны треугольника, $\gamma$ — угол, противолежащий стороне, равной c.

Решение

Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1. Докажите, что существуют числа $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ такие, что $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ и выполняются равенства

x = tg $\displaystyle {\dfrac{\alpha}{2}}$ ,y = tg $\displaystyle {\dfrac{\beta}{2}}$ , z = tg $\displaystyle {\dfrac{\gamma}{2}}$ .

Решение

Дан треугольник ABC. На его стороне AB выбирается точка P и через нее проводятся прямые PM и PN, параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM. Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.

Решение

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом α бокового ребра с плоскостью основания.

Решение

Задача 109413

Задача 109417

Задача 110340

Задача 110341

Задача 110345