Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116188

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Окружность Аполлония ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116170

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Tочки A₁, B₁ и C₁ симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C₂ – точка пересечения прямых AB₁ и BA₁, точки A₂ и B₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116754

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA₁, CC₁ – высоты. Прямая A₁C₁ пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109643

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110768

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Гомотетичные окружности ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Формула Эйлера ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями