Каталог по темам

Задачи

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 1547]

Задача 66931

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В четырехугольнике $ABCD$ $AB\perp CD$ и $AD\perp BC$. Докажите, что существует точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны четырехугольника, пропорциональны этим сторонам.

Прислать комментарий Решение

Задача 67227

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Mudgal A., Srivastava P.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$, $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$, а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Докажите, что $MX=MY$.

Прислать комментарий Решение

Задача 78809

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a₁, ..., a_{n - 1}; a'₁, ..., a'_{n - 1} (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa₁, Aa₂, ..., Aa_{n - 1}; A'a₁, A'a'₂, ..., A'a'_{n - 1}. Точку пересечения прямых Aa₁ и A'a₁ обозначим через X₁, прямых Aa₂ и A'a₂ — через X₂ и т.д. Доказать, что точки X₁, X₂, ..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.

Прислать комментарий Решение

Задача 110791

Темы:	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 55655

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан вписанный 2n-угольник с углами $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , ..., $\beta_{2n}^{}$ . Докажите, что

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n-1}^{}$ = $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n}^{}$ .

Верно ли обратное?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 1547]