Через противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD проведены две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены через рёбра BC и AD , а также – через рёбра AC и BD . Эти шесть плоскостей задают параллелепипед. Докажите, что если тетраэдр ABCD – ортоцентрический (его высоты пересекаются в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны; а если тетраэдр ABCD – равногранный (все его грани – равные между собой треугольники), то параллелепипед – прямоугольный.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно для любой другой вершины пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

Через противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD проведены две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены через рёбра BC и AD , а также – через рёбра AC и BD . Эти шесть плоскостей задают параллелепипед. Докажите, что если тетраэдр ABCD – ортоцентрический (его высоты пересекаются в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны; а если тетраэдр ABCD – равногранный (все его грани – равные между собой треугольники), то параллелепипед – прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Дана треугольная пирамида ABCD . Скрещивающиеся рёбра AC и BD этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся ребра AD и BC , а AB = CD . Все рёбра этой пирамиды касаются шара радиуса r . Найдите площадь грани ABC .

Прислать комментарий

Решение

Высота пирамиды ABCD , опущенная из вершины D , проходит через точку пересечения высот треугольника ABC . Кроме того, известно, что DB = b , DC = c , BDC = 90^o . Найдите отношение площадей граней ADB и ADC .

Прислать комментарий

Решение

Высота равногранного тетраэдра равна h, а высота грани делится точкой пересечения высот этой грани на отрезки, равные h₁ и h₂. Докажите, что h² = 4h₁h₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]