Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

   Решение

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 606]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109639

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Кооперативные алгоритмы ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

  Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трёх цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз).
  После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака.
  Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115411

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Даны натуральные числа x и y из отрезка  [2, 100].  Докажите, что при некотором натуральном n число x²ⁿ + y²ⁿ  – составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107771

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого  k > 1  найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки.
(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111344

Темы:   [ Раскраски ] [ Деление с остатком ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111837

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Деление с остатком ] [ Правило произведения ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 606]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями