Каталог по темам

Задачи

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 606]

Задача 61452

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

а) Пусть q – натуральное число и функция f(x) = cq^x + a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ принимает целые значения при x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число f(x) также будет целым.
б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое целое m ≥ 1 при x = 0, 1, 2, ..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех натуральных x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66590

Темы:	[	Деление с остатком	]
Темы:	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Пусть $p$ и $q$ – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке $0$, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в $0$. Докажите, что для любого натурального $d < p + q$ найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на $d$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67157

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Петя прибавил к натуральному числу N натуральное число M и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у N. Тогда он снова прибавил M к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у N?

Прислать комментарий Решение

Задача 67269

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Клепцын В.А.

Пусть X – некоторое множество целых чисел, которое можно разбить на N непересекающихся возрастающих арифметических прогрессий (бесконечных в обе стороны), а меньше чем на N – нельзя. Для любого ли такого X такое разбиение на N прогрессий единственно, если а) N = 2; б) N = 3?

(Возрастающая арифметическая прогрессия – это последовательность, в которой каждое число больше своего соседа слева на одну и ту же положительную величину.)

Прислать комментарий Решение

Задача 97760

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теория групп (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Казарновский К.

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 606]