Версия для печати
Убрать все задачи

---

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику A₁B₁C₁ и такой, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут параллельны?

   Решение

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 239]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79466

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Свойства сечений ] [ Перегруппировка площадей ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108137

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема синусов ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к ω, проведённая через точку B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что  AM = AD  и  BK = BC.  Докажите, что ABCD – трапеция.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110129

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108245

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115419

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Треугольник (построения) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику A₁B₁C₁ и такой, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут параллельны?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 239]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями