Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

   Решение

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 590]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116578

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111835

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Тождественные преобразования ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан многочлен  P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.  Положим  m = min {a₀, a₀ + a₁, ..., a₀ + a₁ + ... + a_n}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxⁿ  при  x ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30928

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Докажите, что если  x + y + z ≥ xyz,  то  x² + y² + z² ≥ xyz.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35516

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В каждой клетке таблицы 9×9 записано число, по модулю меньшее 1. Известно, что сумма чисел в каждом квадратике 2×2 равна 0.
Докажите, что сумма чисел в таблице меньше 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55238

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 590]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями