Страница:
<< 7 8 9 10 11 12
13 >> [Всего задач: 64]
|
[Метод Архимеда]
|
|
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
|
Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные
n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).
а) Найдите P4, p4, P6 и p6.
б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:
P2n = 
, p2n = 
(n ≥ 3).
в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства 310/71 < π < 31/7.
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника
, где l1, l2 – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
В угол A, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках B и C. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке M, пересекает отрезки AB и AC в точках Р и Q соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство SPAQ < SBMC?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село NN?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни N – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге.
Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)
Страница:
<< 7 8 9 10 11 12
13 >> [Всего задач: 64]
Тема:
Все темы
>>
Методы
>>
Геометрические методы
>>
Применение тригонометрических формул (геометрия)
Решение 
