Каталог по темам

Задачи

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 606]

Задача 60701

Темы:	[	Целочисленные треугольники	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что
а) длина одного из катетов кратна 3,
б) длина одной из трёх сторон делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64679

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.
Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

Прислать комментарий

Решение

Задача 76485

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n, принимающий при x = 0 и x = 1 нечётные значения, не имеет целых корней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 21989

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Теорема Эйлера	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30608

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Пусть натуральное число n таково, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 606]