Каталог по темам

Выбрано 6 задач

У Алисы в кармане шесть волшебных пирожков – два увеличивающих (съешь – вырастешь), а остальные уменьшающие (съешь – уменьшишься). Когда Алиса встретила Мэри Энн, она, не глядя, вынула из кармана три пирожка и отдала их Мэри. Найдите вероятность того, что у одной из девочек нет ни одного увеличивающего пирожка.

Решение

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Решение

Внутри выпуклого многоугольника A₁...A_n взята точка O. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине A_k, x_k = OA_k, d_k — расстояние от точки O до прямой A_kA_{k + 1}. Докажите, что $\sum$ x_ksin( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ $\sum$ d_k и $\sum$ x_kcos( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ p, где p — полупериметр многоугольника.

Решение

Из вершины B равнобедренного треугольника ABC на его основание AC опущена высота BD. Каждая из боковых сторон AB и BC треугольника ABC равна 8. В треугольнике BCD проведена медиана DE. В треугольник BDE вписана окружность, касающаяся стороны BE в точке K и стороны DE в точке M. Отрезок KM равен 2. Найдите угол A.

Решение

Дан острый угол ABC . На стороне BC отложены отрезки BD= 4 см и BE= 14 см. Найти на стороне BA такие две точки M и N , чтобы MN=3 см и DMN= MNE .

Решение

Докажите, что для плоского графа справедливо неравенство 2E ≥ 3F.

Решение

Задача 30781

Задача 30787

Задача 30789

Задача 30795

Задача 30797