Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 328]

Задача 97942

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98055

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин Д.

Докажите, что при любом натуральном n найдётся ненулевой многочлен P(x) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2ⁿ, который делится на
(x – 1)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60581

[Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите равенство:
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 77972

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Иррациональные неравенства	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать неравенство

$\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 30828

Темы:	[	Ориентированные графы	]
	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 6,7

20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.
Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 328]