Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

   Решение

Дано число  H = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37  (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., H – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

   Решение

Дано бесконечное число углов. Докажите, что этими углами можно покрыть плоскость.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]      

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

Прислать комментарий

Решение

Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более 720^o .

Прислать комментарий

Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что множество M точек на прямой может быть покрыто тремя отрезками длины 1.
Каким наименьшим числом отрезков длины 1 можно заведомо покрыть множество середин отрезков с концами в точках множества M?

Прислать комментарий

Решение

Дано бесконечное число углов. Докажите, что этими углами можно покрыть плоскость.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]