Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.

   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.

   Решение

На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?

   Решение

В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.

   Решение

В угол с вершиной A , равный 60^o , вписана окружность с центром O . К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C . Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , если AM:MO = 2:3 и BC = 7 .

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 127]      

На стороне BC треугольника ABC взята точка D такая, что CAD = 2DAB. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ADC и ADB, равны соответственно 3 и 2, а расстояние между центрами этих окружностей равно . Найдите AD.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной BC на прямую AC, проходит через центр вписанной окружности треугольника A₁CB₁.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что площадь треугольника можно выразить по формуле S = (p - a) r_a , где r_a — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной a , p — полупериметр треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В угол с вершиной A , равный 60^o , вписана окружность с центром O . К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C . Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , если AM:MO = 2:3 и BC = 7 .

Прислать комментарий

Решение

Площадь треугольника равна 6, периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно . Найдите наименьшую сторону треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 127]