Каталог по темам

Задачи

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 2247]

Задача 57020

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то

$\displaystyle {\frac{1}{r_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_c}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_d}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57021

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Окружности S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₄, S₄ и S₁ касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 57022

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Прислать комментарий Решение

Задача 57025

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке S.
а) Расстояния от точек P, Q и S до точки O равны p, q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS.
б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.

Прислать комментарий Решение

Задача 57044

Тема:

[

Четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 2247]