а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A₁ и B₁ движутся по той же окружности так, что величина дуги A₁B₁ остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A₁B₁C₁, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 492]      

На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).

Прислать комментарий

Решение

Пусть S — окружность Аполлония для точек A и B, причем точка A лежит вне окружности S. Из точки A проведены касательные AP и AQ к окружности S. Докажите, что B — середина отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A₁ и B₁ движутся по той же окружности так, что величина дуги A₁B₁ остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A₁B₁C₁, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B и C таковы, что для любой четвертой точки M либо MA MB, либо MA MC. Докажите, что точка A лежит на отрезке BC.

Прислать комментарий

Решение

Дан четырехугольник ABCD, причем AB < BC и AD < DC. Точка M лежит на диагонали BD. Докажите, что AM < MC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 492]