Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 66]

Задача 56512

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A₁B₁C₁ пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно.
Докажите, что если ∠B₁A₁C = ∠BA₁C₁, ∠A₁B₁C = ∠AB₁C₁ и ∠A₁C₁B = ∠AC₁B₁, то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57159

Темы:	[	Метод ГМТ	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Точки P и Q движутся с одинаковой постоянной скоростью v по двум прямым, пересекающимся в точке O.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояния от которой до точек P и Q в любой момент времени равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66235

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Москвитин Н.А.

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD перпендикулярны. Из точки D опущен перпендикуляр DE на сторону AB, а из точки C – перпендикуляр CF на прямую DE. Докажите, что ∠DBF = ½ ∠FCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66258

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Диагонали четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, а серединные перпендикуляры к сторонам BC и AD – в точке Q. Найдите угол POQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64357

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Полянский А., Емельянов Л.А.

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 66]