Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1,  P₀ = a₀,  P_k = a_kP_k–1 + P_k–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q_–1 = 0,  Q₀ = 1,  Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби ^P_k/_Qk называются подходящими дробями к числу  [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  ^P_k/_Qk = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
    б)  P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
    в)   (P_k, Q_k) = 1.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

Докажите равенство:  []  = .

Прислать комментарий

Решение

У Ивана-царевича есть два сосуда емкостью по 1 л, один из которых полностью заполнен обычной водой, а в другом находится a л живой воды,
0 < a < 1.  Он может переливать только из сосуда в сосуд любой объем жидкости до любого уровня без переполнений и хочет за конечное число таких переливаний получить 40-процентный раствор живой воды в одном из сосудов. При каких значениях a Иван-царевич сможет это сделать? Считайте, что уровень жидкости в каждом из сосудов можно точно измерить в любой момент времени.

Прислать комментарий

Решение

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Рассеянный Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий – нечётное число?

Прислать комментарий

Решение

  Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1,  P₀ = a₀,  P_k = a_kP_k–1 + P_k–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q_–1 = 0,  Q₀ = 1,  Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби ^P_k/_Qk называются подходящими дробями к числу  [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  ^P_k/_Qk = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
    б)  P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
    в)   (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

В магазин привезли цистерну молока. У продавца имеются чашечные весы без гирь (на чашки весов можно ставить фляги), а также три одинаковые фляги, две из которых пустые, а в третьей налит 1 л молока. Как отлить в одну флягу ровно 85 л молока, сделав не более восьми взвешиваний?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]