Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]

Задача 61467

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что произвольная последовательность Q_n, заданная условиями

Q₀ = $\displaystyle \alpha$ , Q₁ = $\displaystyle \beta$ , Q_{n + 2} = Q_{n + 1} + Q_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0),

может быть выражена через числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n (определение чисел Люка смотри в задаче 3.133).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61483

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x_{1, 2} = a±ib = re^±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c₁, c₂ будет выполняться равенство

a_n = rⁿ(c₁cos n $\displaystyle \varphi$ + c₂sin n $\displaystyle \varphi$ ).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61485

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности

a) a_n = n²; б) a_n = n³?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61462

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $\geqslant$ 0):

a) a₀ = 0, a₁ = 1, a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n;

б) a₀ = 1, a₁ = 1, a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_n;

в) a₀ = 1, a₁ = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n;

г) a₀ = 1, a₁ = 2, a_{n + 2} = 2a_{n + 1} - a_n;

д) a₀ = 0, a₁ = 1, a_{n + 2} = 2a_{n + 1} + a_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61463

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

При возведении числа 1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + )¹ = 1 + = + , (1 + )² = 3 + 2 = + , (1 + )³ = 7 + 5 = + , (1 + )⁴ = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа a_n и b_n при помощи равенства (1 + )ⁿ = a_n + b_n, (n ≥ 0).
а) Выразите через a_n и b_n число (1 – )ⁿ.
б) Докажите равенство
в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {a_n} и {b_n}?
г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {a_n} и {b_n}.
д) Найдите связь между числами a_n, b_n и подходящими дробями к числу .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]