Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 502]

Задача 61420

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Отношение порядка	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида

(k, j, i) ↔ (k – 1, j + 1, i), (k, j, i) ↔ (k – 1, j, i + 1), (k, j, i) ↔ (k, j – 1, i + 1).

(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61509

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Производящие функции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пусть p(n) – количество разбиений числа n (определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:

p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ... = (1 + x + x² + ...)...(1 + x^k + x^2k + ...)... = (1 – x)^–1(1 – x²)^–1(1 – x³)^–1...

(По определению считается, что p(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61512

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Производящие функции	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61525

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через P_k,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
а) P_k,l(n) – P_k,l–1(n) = P_k–1,l(n – l);
б) P_k,l(n) – P_k–1,l(n) = P_k,l–1(n – k);
в) P_k,l(n) = P_l,k(n);
г) P_k,l(n) = P_k,l(kl – n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65126

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Волченков С.Г.

На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 502]