а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B₁ и C₁ – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O₁C₁ и O₂B₁ пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

   Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 222]      

Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).

Прислать комментарий

Решение

Две окружности радиусов r и R (r < R) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках M и N. В точках A и B окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые AB и MN пересекаются в точке C. Из точки C проведена касательная к третьей окружности (D — точка касания). Найдите CD.

Прислать комментарий

Решение

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B₁ и C₁ – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O₁C₁ и O₂B₁ пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A' – точка, симметричная A относительно BC, O_A – центр окружности, проходящей через A и середины отрезков A'B и A'C. Точки O_B и O_C определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников ABC и O_AO_BO_C.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 222]