Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

   Решение

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 1026]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64437

Темы:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На рисунке изображена снежинка, симметричная относительно поворота вокруг точки O на 60° (при этом повороте каждый луч снежинки переходит в другой луч) и отражения относительно прямой OX. Найдите отношение длин отрезков  OX : XY.  (Пунктирными линиями показаны точки, лежащие на одной прямой.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64701

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64704

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64809

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64842

Темы:   [ Композиции поворотов ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Вершины треугольника обозначены буквами A, B, C по часовой стрелке. Треугольник последовательно поворачивают по часовой стрелке: сначала вокруг вершины A на угол, равный углу A, потом – вокруг вершины B на угол, равный углу B, и так далее по циклу (каждый раз поворот делают вокруг текущего положения очередной вершины). Докажите, что после шести поворотов треугольник займёт исходное положение.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 1026]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями