Каталог по темам

Задачи

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 2247]

Задача 64881

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64883

Темы:	[	Общие четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три окружности пересекаются в одной точке	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A₁, сторону LM в точках B и B₁, и т.д. Докажите что
а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD₁A₁, LA₁B₁, MB₁C₁ и NC₁D₁ также пересекаются в одной точке Q;
б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64884

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Полянский Н., Скробот Д.

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E₁ и F₁. Докажите, что прямые EF и E₁F₁ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64977

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66267

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Фролов И.И.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_Q и ω_P треугольников ACQ и BDP.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 2247]