Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 233]

Задача 61505

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Вычислите суммы
а) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ ${\dfrac{F_n}{2^n}}$ ; б) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ ${\dfrac{L_n}{2^n}}$ .
Здесь L_n обозначает числа Люка, смотри задачу 3.133.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61542

Темы:	[	Системы счисления (прочее)	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Из километров — в мили. В задаче 3.125 была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот.
Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:

30 = 21 + 8 + 1 = F₈ + F₆ + F₂ = (1010001)_F.

Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая

F₇ + F₅ + F₁ = 13 + 5 + 1 = 19 = (101001)_F.

Поэтому предполагаемый результат — 19 миль. (Правильный ответ — около 18.46 миль.) Аналогично делается перевод из миль в километры.
Объясните, почему работает такой алгоритм. Проверьте, что он дает округленное число миль в n километрах при всех n $\leqslant$ 100, отличающееся от правильного ответа меньше чем на 2/3 мили.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65067

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73683

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Лопшиц А.Л.

Последовательность x₀, x₁, x₂, ... определена следующими условиями: x₀ = 1, x₁ = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^n–1βx_n–1x₁ + α^n–2β²x_n–2x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78087

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Взяли три числа x, y, z. Вычислили абсолютные величины попарных разностей x₁ = |x - y|, y₁ = |y - z|, z₁ = |z - x|. Тем же способом по числам x₁, y₁, z₁ построили числа x₂, y₂, z₂ и т.д. Оказалось, что при некотором n x_n = x, y_n = y, z_n = z. Зная, что x = 1, найти y и z.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 233]